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| Dirichlet |
Mientras escribo estas líneas, estoy encerrado en mi casa debido a las medidas del estado de alarma
decretado en mi país (España) por la epidemia causada por el virus COVID-19. Por lo tanto, en estos
días se habla mucho de tasas de crecimiento (del número de contagiados, recuperados, etc.). En
realidad, aunque la tasa de crecimiento viene determinada en los modelos más realistas por un
sistema de ecuaciones en derivadas parciales (ecuaciones en las que aparecen funciones y
derivadas de ellas), en el modelo más simple posible, se puede suponer que a corto plazo esa
tasa es constante y por lo tanto la fórmula que indica el crecimiento de afectados es exactamente la
misma que la fórmula del interés compuesto que aplican los bancos, que era: Cf=Ci(1+r)n
Donde Cf es el número de afectados después de n días, Ci representa el número de afectados iniciales y r es la tasa de crecimiento (para un 20% r=0.20). El crecimiento del número de afectados sigue lo que se llamaba una progresión geométrica. Y las progresiones geométricas crecen (o decrecen si r fuese negativo) exponencialmente: si se empieza con 10.000 enfermos y cada día uno de cada cinco contagia a una persona (un 20% de tasa de crecimiento) al cabo de 5 días se tendrían 24,883 enfermos. Y al cabo de 10 61,917 y después de un mes 2,373,763. En 75 días se habría sobrepasado la población humana. Pero es momento para tranquilizarse, esa tasa va variando (decreciendo usualmente) y no se puede considerar constante, por lo que se dejará de tener una progresión geométrica. Y, en realidad, me gustaría comentar algo sobre las otras progresiones que se estudiaban en secundaria: las progresiones aritméticas. Y con ellas una historia que me parece fascinante sobre los números primos.
Las progresiones aritméticas son aquellas que se obtienen empezando en un número a y se le va añadiendo siempre una misma cantidad d (las geométricas se multiplican siempre por una misma cantidad). Así, si se empieza en 2 y d=3 nos da: 2, 5, 8, 11, 14, 17, ... No deja de ser curioso que en la sucesión anterior hay nada menos que 4 primos. Pues bien, esto no es casualidad, existe un resultado precioso debido a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, un matemático que vivió en lo que hoy en día es Alemania de 1805 a 1859, que relaciona las progresiones aritméticas con los números primos. Efectivamente, si se escogen dos números a y d que no tengan factores primos entre sí (su máximo común divisor es 1), entonces la sucesión a, a+d, a+2d, a+3d, ... contiene infinitos primos. Esto es una generalización del conocido resultado de que existen infinitos primos (cosa ya demostrada por Euclides).
El resultado es absolutamente precioso y ya Euler demostró algún caso particular, pero fue Legendre el primero que conjeturó que el teorema era cierto. Pero aún hay más, se sabe que proporción de primos hay en cada una de las sucesiones y no depende de a, solo de d. Así, si ᵠ(d) es el número de naturales menores que d que no tengan factores primos comunes con d, entonces el número de primos en las progresiones a, a+d, a+2d, a+3d,... es de 1/ᵠ(d)
En realidad, esto está relacionado con un teorema importantísimo que es el de la distribución de los
números primos. Ese teorema conocido como el Teorema de los Números Primos (si algo se llama el
Teorema tiene que ser importante). Y la demostración de ese teorema tiene una historia muy
interesante: Gauss conjeturó que el número de primos menores que n era del orden de log(n),
Riemann dio las herramientas para demostrar ese teorema (en el artículo de su famosa hipótesis,
que está muy relacionada con la distribución de los primos. He hablado de la Hipótesis de Riemann en
este vídeo) y Hadamard y de la Vallée Poussin dieron una demostración en 1896, primero parece ser que
fue de la Vallée Poussin y después Hadamard, pero de forma independiente.
Aquí un pequeño paréntesis: la Hipótesis de Riemann que, posiblemente es el reto más importante para
las matemáticas actuales, dice que todos los ceros no triviales de una función que hoy se conoce como la
función zeta de Rieman están sobre una recta (los detalles en el vídeo que he enlazado antes). A finales
del siglo XIX Stieltjes dijo que había demostrado la Hipótesis de Reimann y fue un poco descorazonador
para Hadamard y de la Vallée Poussin, ya que si se demostraba, era un resultado mucho más fuerte
que el propio Teorema de los números primos (¡la Hipótesis de Riemann es mucho más potente que
algo que se llama "el Teorema"), aún así publicaron su resultado que era una consecuencia de que los
ceros no triviales de la función zeta de Riemann estaban en una franja (todos los números complejos cuya
parte real x verifica que 0<x<1). Stieltjes murió en 1894 y su demostración nunca se encontró, aunque
estudios recientes llegan a la conclusión de que nunca llegó a tenerla.
Durante mucho tiempo se conjeturó que no existía una demostración elemental del Teorema de los
Números Primos pero ocurrió algo en 1948.
Un noruego, Atle Selberg había demostrado una desigualdad que, de hecho, llevaba a una
demostración elemental del teorema de Dirichlet. A Turán le parecía un fantástico resultado (y lo era)
y trató de convencerlo de que diera un seminario en Princeton sobre el tema. Selberg no quería (era un tanto
huraño) y le dejó unas notas al propio Turán para que lo diera él. Uno de los asistentes a ese seminario
era Paul Erdős y a la salida comentó que eso servía para demostrar que pn+1/pn ->1 (equiv. hay un primo
entre n y n(1+e) para n grande, para e= 1 es resultado de Chebyshev). Erdős se lo comentó a Selberg y
este le dijo que era imposible porque eso daría una demostración elemental del teorema de los números
primos (Hardy había dicho que eso era imposible). Comprobaron sus resultados, vieron que todo era correcto
y dieron un seminario conjunto en Princeton. Ese seminario fue organizado por Straus, el cual tenía que
recoger a su mujer que llegaba en el último tren, así que empezó a las 12 de la noche.
Justo la misma noche del seminario, varios de los asistentes no podían dormir y decidieron que había que
dar a conocer la noticia al mundo matemático, así que Erdős escribió una postal (sugerida por Turán,
Straus y otros) que decía. «Usando un resultado fundamental de Selberg, él y yo hemos conseguido una
demostración elemental del Teorema de los números primos.»
Erdős propuso que se escribieran 3 artículos en Annals (la revista más importante de matemáticas):
uno de Selberg con su desigualdad, otro conjunto con pn+1/pn ->1 y un último de Selberg con el
Teorema de los Números Primos. Se ve que todo esto le sentó mal a Selberg y que, al ser el húngaro
mucho más conocido, todo el mundo le atribuía el mérito Erdős. Por ejemplo, circuló una anécdota
Una anécdota cuenta que, estando Selberg en la Universidad de Siracusa a finales de 1948, alguien
le preguntó si había oído la noticias de lo que Paul Erdős y un matemático noruego habían dado una
demostración elemental del Teorema de los Números Primos. Cuando años más tarde Selberg fue
preguntado sobre si la anécdota era cierta, afirmó que no, que realmente solo le dijeron que si había oído
que Erdős había dado esa demostración elemental.
Sea como fuere, Selberg rompió toda relación con Erdős (y viceversa) y al final los dos publicaron la
misma demostración en artículos diferentes.
Nunca más se volvieron a hablar.
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| Atle Selberg |
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| Paul Erdős |
Sobre Selberg se puede profundizar en
esta entrada del blog del IMUS escrita por Juan Luis Varona.
La versión de la controversia la he extraído de
aquí.
También daba una
visión divulgativa pero profunda Javier Cilleruelo.
Por último, he contado esta historia en el
episodio 93 de Los 3 chanchitos.
