jueves, 19 de marzo de 2020

Progresiones y primos

Peter Gustav Lejeune Dirichlet.jpg
Dirichlet
Mientras escribo estas líneas, estoy encerrado en mi casa debido a las medidas del estado de alarma
decretado en mi país (España) por la epidemia causada por el virus COVID-19. Por lo tanto, en estos
días se habla mucho de tasas de crecimiento (del número de contagiados, recuperados, etc.). En
realidad, aunque la tasa de crecimiento viene determinada en los modelos más realistas por un
sistema de ecuaciones en derivadas parciales (ecuaciones en las que aparecen funciones y
derivadas de ellas), en el modelo más simple posible, se puede suponer que a corto plazo esa
tasa es constante y por lo tanto la fórmula que indica el crecimiento de afectados es exactamente la
misma que la fórmula del interés compuesto que aplican los bancos, que era: Cf=Ci(1+r)n
Donde Cf es el número de afectados después de n días, Ci representa el número de afectados iniciales y r es la tasa de crecimiento (para un 20% r=0.20). El crecimiento del número de afectados sigue lo que se llamaba una progresión geométrica. Y las progresiones geométricas crecen (o decrecen si r fuese negativo) exponencialmente: si se empieza con 10.000 enfermos y cada día uno de cada cinco contagia a una persona (un 20% de tasa de crecimiento) al cabo de 5 días se tendrían 24,883 enfermos. Y al cabo de 10 61,917 y después de un mes 2,373,763. En 75 días se habría sobrepasado la población humana. Pero es momento para tranquilizarse, esa tasa va variando (decreciendo usualmente) y no se puede considerar constante, por lo que se dejará de tener una progresión geométrica. Y, en realidad, me gustaría comentar algo sobre las otras progresiones que se estudiaban en secundaria: las progresiones aritméticas. Y con ellas una historia que me parece fascinante sobre los números primos.

Las progresiones aritméticas son aquellas que se obtienen empezando en un número a y se le va añadiendo siempre una misma cantidad d (las geométricas se multiplican siempre por una misma cantidad). Así, si se empieza en 2 y d=3 nos da: 2, 5, 8, 11, 14, 17, ... No deja de ser curioso que en la sucesión anterior hay nada menos que 4 primos. Pues bien, esto no es casualidad, existe un resultado precioso debido a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, un matemático que vivió en lo que hoy en día es Alemania de 1805 a 1859, que relaciona las progresiones aritméticas con los números primos. Efectivamente, si se escogen dos números a y d que no tengan factores primos entre sí (su máximo común divisor es 1), entonces la sucesión a, a+d, a+2d, a+3d, ... contiene infinitos primos. Esto es una generalización del conocido resultado de que existen infinitos primos (cosa ya demostrada por Euclides).

El resultado es absolutamente precioso y ya Euler demostró algún caso particular, pero fue Legendre el primero que conjeturó que el teorema era cierto. Pero aún hay más, se sabe que proporción de primos hay en cada una de las sucesiones y no depende de a, solo de d. Así, si ᵠ(d) es el número de naturales menores que d que no tengan factores primos comunes con d, entonces el número de primos en las progresiones a, a+d, a+2d, a+3d,... es de 1/ᵠ(d)

En realidad, esto está relacionado con un teorema importantísimo que es el de la distribución de los
números primos. Ese teorema conocido como el Teorema de los Números Primos (si algo se llama el Teorema tiene que ser importante). Y la demostración de ese teorema tiene una historia muy
interesante:  Gauss conjeturó que el número de primos menores que n era del orden de log(n),
Riemann dio las herramientas para demostrar ese teorema (en el artículo de su famosa hipótesis,
que está muy relacionada con la distribución de los primos. He hablado de la Hipótesis de Riemann en
este vídeo) y Hadamard y de la Vallée Poussin dieron una demostración en 1896, primero parece ser que
fue de la Vallée Poussin y después Hadamard, pero de forma independiente.

Aquí un pequeño paréntesis: la Hipótesis de Riemann que, posiblemente es el reto más importante para las matemáticas actuales, dice que todos los ceros no triviales de una función que hoy se conoce como la función zeta de Rieman están sobre una recta (los detalles en el vídeo que he enlazado antes). A finales
del siglo XIX Stieltjes dijo que había demostrado la Hipótesis de Reimann y fue un poco descorazonador
para Hadamard y de la Vallée Poussin, ya que si se demostraba, era un resultado mucho más fuerte que el propio Teorema de los números primos (¡la Hipótesis de Riemann es mucho más potente que algo que se llama "el Teorema"), aún así publicaron su resultado que era una consecuencia de que los ceros no triviales de la función zeta de Riemann estaban en una franja (todos los números complejos cuya parte real x verifica que 0<x<1). Stieltjes murió en 1894 y su demostración nunca se encontró, aunque estudios recientes llegan a la conclusión de que nunca llegó a tenerla.

Durante mucho tiempo se conjeturó que no existía una demostración elemental del Teorema de los Números Primos pero ocurrió algo en 1948.  Un noruego, Atle Selberg había demostrado una desigualdad que, de hecho, llevaba a una demostración elemental del teorema de Dirichlet. A Turán le parecía un fantástico resultado (y lo era) y trató de convencerlo de que diera un seminario en Princeton sobre el tema. Selberg no quería (era un tanto huraño) y le dejó unas notas al propio Turán para que lo diera él. Uno de  los asistentes a ese seminario era Paul Erdős y a la salida comentó que eso servía para demostrar que pn+1/pn ->1 (equiv. hay un primo entre n y n(1+e) para n grande, para e= 1 es resultado de Chebyshev). Erdős se lo comentó a Selberg y
este le dijo que era imposible porque eso daría una demostración elemental del teorema de los números
primos (Hardy había dicho que eso era imposible). Comprobaron sus resultados, vieron que todo era correcto
y dieron un seminario conjunto en Princeton. Ese seminario fue organizado por Straus, el cual tenía que recoger a su mujer que llegaba en el último tren, así que empezó a las 12 de la noche.
Justo la misma noche del seminario, varios de los asistentes no podían dormir y decidieron que había que dar a conocer la noticia al mundo matemático, así que Erdős escribió una postal (sugerida por Turán,
Straus y otros) que decía. «Usando un resultado fundamental de Selberg, él y yo hemos conseguido una
demostración elemental del Teorema de los números primos.»

Erdős propuso que se escribieran 3 artículos en Annals (la revista más importante de matemáticas): uno de Selberg con su desigualdad, otro conjunto con   pn+1/pn ->1 y un último de Selberg con el Teorema de los Números Primos. Se ve que todo esto le sentó mal a Selberg y que, al ser el húngaro
mucho más conocido, todo el mundo le atribuía el mérito Erdős. Por ejemplo, circuló una anécdota
Una anécdota cuenta que, estando Selberg en la Universidad de Siracusa a finales de 1948, alguien le preguntó si había oído la noticias de lo que Paul Erdős y un matemático noruego habían dado una
demostración elemental del Teorema de los Números Primos. Cuando años más tarde Selberg fue
preguntado sobre si la anécdota era cierta, afirmó que no, que realmente solo le dijeron que si había oído
que Erdős había dado esa demostración elemental.

Sea como fuere, Selberg rompió toda relación con Erdős (y viceversa) y al final los dos publicaron la
misma demostración en artículos diferentes.

Nunca más se volvieron a hablar.


Resultado de imagen de Atle Selberg
Atle Selberg
Resultado de imagen de paul erdos
Paul Erdős
Sobre Selberg se puede profundizar en esta entrada del blog del IMUS escrita por Juan Luis Varona.
La versión de la controversia la he extraído de aquí.
También daba una visión divulgativa pero profunda Javier Cilleruelo.
Por último, he contado esta historia en el episodio 93 de Los 3 chanchitos.

martes, 30 de abril de 2019

En Mitad del Mundo (despedida)

La tarde y noche del último día en Quito nos deparaba parte de lo mejor del viaje. Absolutamente impresionados con la casa-museo de Guayasamín y la Capilla del Hombre. Durante todo el recorrido, tanto Clara como yo hemos estado sobrecogidos con todo lo que veíamos. Stendhal nos sobrevolaba. Totalmente en serio: si visitan Quito no se pierdan la Capilla del Hombre.
Desde allí nos fuimos a casa de nuestra Sofía que nos tenía preparado un seco de pollo sublime para despedirnos, por ahora, de estas tierras. Mañana toca volar de vuelta.















En Mitad del Mundo (y VI)

Toca despedirse de Ecuador, pero amenazamos con volver.
La mañana ha estado dedicada a pasear por el centro de Quito y visitar un museo, Casa del Alabado, de arte prehispánico. La casa en sí y los contenidos me parecen fantásticos, el museo como tal tiene grandes carencias ya que las explicaciones son mínimas y todo parece centrado en la energía y otras gaitas que se repiten demasiadas veces. No se mostraba la historia, la evolución de los sucesivos asentamientos en invasiones, la vida día a día, sino solo la magia, las energías, los chamanes y con textos poco explicativos (cuando digo poco estoy siento muy educado). A todo el mundo le gusta mucho, el fallo debe ser mío.
Después de un agradable paseo por la calle de la Ronda, hemos vuelto a la residencia a comer algo y descansar. Esta tarde toca la Capilla del Hombre y la cena de despedida.



Este sombrero vale 20.000$. Lo hay de mi talla, por si alguien se siente generoso



















En Mitad del Mundo (V)

El lunes tocó hacer turismo en uno de los sitios a los que van todos los turistas, pero estos días es lo que somos. Así que hacia Mitad del Mundo nos encaminamos Clara, Facun y este vuestro humilde cronista. Una vez allí, se nos unió Marjorie, que nos hizo de guía, y la verdad es que conoce el sitio estupendamente bien, gracias a ella la visita fue aún más interesante. Porque el sitio no se limita al monumento a la Mitad del Mundo que sale en todas las guías, sino que es un pequeño pueblo con tiendas, cafés y algunas exposiciones. Por ejemplo, de viviendas tradicionales y de la elaboración del chocolate. Además, hay una sucursal de nuestra amada Rosalía Suárez y sus deliciosos helados de paila. El monumento en sí, supuestamente marca el ecuador, aunque está a unos 240 metros de la ubicación real. También se empeñan en hablar de la línea equinocial (que no es algo fijo de una año para otro y que lo que marca es donde el sol aparece en el cenit durante los equinocios) y no del ecuador que es simplemente la línea de puntos equidistantes de los polos. A lo largo de sus nueve pisos hay una exposición sobre los pueblos, fauna y costumbres del Ecuador junto con algunos experimentos de física en los que se muestra, por ejemplo, que el efecto de Coriolis no hace que el agua de los desagües gire en un sentido u otro. No lejos de allí hay un sitio más comercial en el que te engañan haciéndote ver que sí, pero si vais o veis algún vídeo observad como el "experto" echa el agua en un lado u otro de la pileta para su "demostración".
Después comimos en un lugar cercano y volvimos a la residencia en la que nos alojamos para esperar a que nos recogiera Sofi, ya que habíamos quedado con el agregado cultural de la Embajada de España en Ecuador, Ignacio Garrido. Nuestra querida anfitriona nos llevó a un barrio precioso en el que estaba la cafetería Ochoymedio que, tal y como su nombre indica, está muy ligada al cine, incluso cuenta con dos salas en las que proyectan películas en las que todos los espectadores son muy sesudos y suelen tener caras de enfadados. Ignacio es una de esas personas que escucha cuando le hablan y con un discurso interesantísimo (ambas cosas suelen ir ligadas). Por lo que hemos podido ver (no a través de él sino de Sofía, por ejemplo), está haciendo una magnífica labor. Le dijimos lo que pensábamos: que era un orgullo que miembros del cuerpo diplomático español estuvieran haciendo todas las cosas que él estaba haciendo (mientras lo decíamos, Facun, argentino él, cabeceaba corroborando lo que afirmábamos).
Después de una agradable y tranquila charla, tocó despedirnos de él e ir a buscar un sitio en el que cenar: fuimos al centro de Quito y se nos unió Danilo y los cinco acabamos en una tasca fantástica llamada Sereno Moreno.