miércoles, 26 de octubre de 2016

Un maleducado y un avión

Ayer en el programa que emitimos de Los 3 chanchitos planteé un problema (otro) que encontré, de nuevo, en FiveThirtyEight. Puesto que mucha gente me está reclamando una solución más reposada, aprovecho para ponerla aquí.



El problema en cuestión es el siguiente:

Está en una cola de 100 personas para embarcar en un avión que tiene 100 plazas, todas previamente asignadas. Tú estás el último y la primera persona es idiota, muy maleducado o una suma de diversos factores que, entre otras taras, le impiden seguir las mínimas normas sociales, de tal forma que entra en el avión y se sienta en una plaza cualquiera al azar. El segundo, si ve su asiento libre, se sienta en él, pero si estuviera ocupado escoge otro al azar y así sucesivamente. ¿Qué probabilidades hay de que consigas sentarte en tu asiento previamente asignado?

Ahora lo que toca es que el amable lector (el lector siempre es amable, como el marco incomparable) piense un rato sobre el problema. Estaría muy feo que te lanzaras en busca de la respuesta como una hiena hambrienta sobre un ñu recién caído (puede que me tenga que trabajar mejor el símil). Así que voy a poner una imagen ilustrativa y confiar en que vas a pensar antes de rendirte.



¿Has pensado un rato? voy con la solución:

Antes una cuestión previa pero que tiene importancia:

Cuando es tu turno de embarcar (eres el último) sólo hay un asiento vacío y ese asiento forzosamente es el tuyo o el asignado al primer pasajero.
Veamos que esto es cierto: pensemos en cualquier otro asiento y comprobemos que no puede estar libre. Por ejemplo, el pasajero número 50, cuando llega, si su asiento está ocupado, escoge otro cualquiera, y si está libre, se sienta en él, así que el asiento del pasajero 50 no puede estar libre cuando tú llegas.

Lo anterior es la clave para resolverlo, ya que no existe preferencia de ningún tipo, ni entre el primer pasajero, ni entre los demás que vean su asiento ocupado, para haber ocupado el del primer pasajero o el tuyo: son hechos totalmente equiprobables. Así que tenemos en la mitad de los casos estará libre el tuyo y en la otra mitad el otro.

Por lo tanto, la probabilidad de que tu asiento esté libre es de 1/2 (y da igual que el avión tenga dos plazas o mil).

También puedes hacer las cuentas: si es un avión de dos, la probabilidad de que el primero se siente en su asiento es de 1/2. Si es de 3, encontrarás tu asiento ocupado si el primero se sienta en él (1/3) o el primero se sienta en el del segundo y este en el tuyo ((1/3)(1/2)=1/6). Pero 1/3+1/6=1/2. Y así para cualquier número de asientos.

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