Tazas, rosquillas y un Nobel de Física

Minutos antes de sentarme a escribir estas líneas, se acaba de otorgar el premio Nobel de Física 2016 a David J. Thouless, al que le corresponde la mitad del premio y a F. Duncan M. Haldane y J. Michael Kosterlitz, con un cuarto de premio a cada uno "por los descubrimientos teóricos de las transiciones de fase topológica y fases topológicas de la materia". Podéis leer esta fantástica entrada de otro de los chanchitos sobre los aspectos físicos de dicha temática; pero la palabra "topológica" se repite dos veces y da la casualidad que mi tesis y mis primeros diez años de trabajo (sort of) en la universidad estuvieron centrados en la topología. Voy a tratar de explicar en qué consiste dicha disciplina porque esta noche, para mi, tendremos un especial de Los 3 chanchitos sobre dicho Nobel (por cierto, si cuando lees esto aún estás a tiempo, te agradecería el voto a nuestro podcast para los premios Bitácoras, lo puedes hacer dándole a este enlace).

La topología es una rama de las matemáticas que trata de estudiar las propiedades de los cuerpos cuando no tenemos en consideración ningún tipo de medición (ni de distancia, ni de distancia, etc.).
Se podría decir que a la topología no le importa tus medidas, sino lo que encierras. 

Voy a poner algunos ejemplos para tratar de hacerme comprender:
El que algo sea una circunferencia es una propiedad métrica ya la definición nos dice que es el conjunto de puntos que "equidista" de otro. Pero ser un segmento también depende de la métrica (es el camino "más corto" entre dos puntos) , por lo tanto, ser un triángulo o un cuadrilátero, etc., también son propiedades métricas. Así que en topología no podemos tener circunferencias, ni triángulos o, mejor dicho, no hay ninguna propiedad topológica que distinga a una circunferencia de un triángulo: si nos ponemos las gafas de visión topológicas una circunferencia y un triángulo son la misma cosa. podemos asignar a cada punto del triángulo un punto de la circunferencia de manera biunívoca conservando todas las propiedades topológicas.

Entonces, ¿qué cosas puede distinguir la topología? Lo primero que podríamos destacar como propiedad topológica es si algo tiene un pedazo (es conexo, aunque hay muchas matizaciones sobre ello) o más de uno. Así, un segmento no es lo mismo, aún con las gafas de visión topológicas puestas, que dos segmentos. Y si tenemos una pieza de pan, para un topólogo es lo mismo que qcualquier otra pieza de pan, pero si una de ellas la partimos en dos, ya sí se pueden diferenciar.

Estos dos representantes de la especie humana son topológicamente indistinguibles, salvo si partimos a uno de ellos por la mitad. Sin embargo, es muy probable que la ropa que llevan sí los pueda diferenciar (a simple vista da la sensación de que el individuo de la izquierda lleva más trozos de ropa en su vestimenta). 

En realidad, esta propiedad, la de ser un trozo (o conexo) o no serlo, se puede considerar como la propiedad topológica fundamental, la que nos va a permitir distinguir entre multitud de objetos (técnicamente el número de componentes conexas de un objeto).
Veamos cómo. Nos podemos preguntar si un segmento es lo mismo que una circunferencia: los dos tienen sólo un trozo, así que podría parecer que no, que no vamos a poder distinguirlos. Así que supongamos que el segmento y la circunferencia son la misma cosa para la topología y que cada punto del segmento se corresponde de manera biunívoca con uno de la circunferencia de tal forma que se conservan todas las propiedades topológicas.
Pensemos ahora en el punto medio del segmento, ese punto mediante la correspondencia que acabamos de suponer, se ha de corresponder con algún punto de la circunferencia, pero ¿qué ocurre al quitar el punto medio del segmento? Que se parte en dos el segmento. Sin embargo, no existe ningún punto en la circunferencia que al quitarlo parta en dos a ella. Por ello, podemos decir que la circunferencia y el segmento no son la misma cosa desde un punto de vista topológico: necesitamos dos puntos para romper en dos pedazos disconexos una circunferencia.

Tratemos de avanzar un poco y saltemos al mundo tridimensional. El equivalente ahora a una circunferencia sería una esfera. Es fácil ver que si pintamos cualquier circunferencia sobre la superficie de la esfera y quitamos exactamente los puntos de esa circunferencia de la esfera, dividimos a la esfera en dos trozos.

Y lo mismo ocurre si le quitamos a la esfera cualquier curva equivalente a una circunferencia (esto se conoce como el Teorema de curva cerrada de Jordan). 

Sin embargo, en la superficie de un donut (lo que los topólogos llamamos un toro), podemos encontrar circunferencias que no la dividen en dos:

Si cortamos por la circunferencia marcada con una v, no dividimos ala toro en dos 

Por lo tanto, para un topólogo no es lo mismo una esfera que un toro (y si para casi nadie es lo mismo, dicho sea de paso). Sin embargo, es todo un clásico decir que el topólogo es incapaz de distinguir entre una taza de desayuno y un donut. Efectivamente, como prueba esta imagen, podemos pasar de forma continua (y esta palabra es clave) de una al otro.

Lo curioso es que se sabe cuáles son todas las superficies que existen desde un punto de vista topológico y hay tres propiedades que las caracterizan: tener borde o no, ser orientable o no (un ejemplo de no orientable es la banda de Möbius de la que nos habló la chanchita en este vídeo) y el numero de asas: la esfera no tiene, el toro tiene una, el doble toro tiene dos, etc.

Triple toro (con tres asas)

Naturalmente, existen otras propiedades topológicas, pero digamos que lo que acabamos de ver es lo fundamental. Tal y como se ve en la imagen publicada por el académico Johan Jarnestad para explicar la concesión del Nobel:

  

Cada vez que se produce un "pow" se cambia la topología

Pues ya sabéis, estás rosquillas se acaban de llevar un Nobel de física y este es casi el único consuelo que nos queda a los matemáticos por haber sido excluidos de tamaña distinción.