martes, 17 de mayo de 2011

El matemático más famoso de todos los tiempos (II)


-Publicamos ya la solución del problema de la entrada anterior?
-Sí, pobrecicos que lleva el país tres días en un sinvivir, no se habla de otra cosa en los bares.
-De acuerdo, pero si te parece después publicamos otro problema y así los tenemos entretenidos.
-Bueno, pero en otra entrada, para que se concentren en esta, como hacen los tíos de El País.
-Buena idea: ¡qué grande eres!




Pues nada, aquí va la solución al problema que habíamos planteado en la entrada sobre "el matemático más famoso del mundo". El problema decía:
"Supongamos un cubo de lado de longitud 1 metro, un rectángulo de papel lo envuelve, si somos capaces de dar un método tal que sin rasgarlo seamos capaces de envolver completamente todas las caras del cubo (como si fuera un regalo, vamos). La pregunta es: ¿cuál es el área A mínima de un rectángulo que envuelve dicho cubo?"

Jin Akiyama en Michigan (cuando trabajaba con Harary) en 1978.
Y la respuesta es (tachán):









(tachán)






NO EXISTE DICHO NÚMERO A!!!

En otras palabras, dado cualquier rectángulo que envuelva dicho cubo, es posible encontrar otro rectángulo de área menor (pero siempre mayor que 6) que también envuelve al cubo.

Voy a tratar de explicar cómo. La idea, como alguien (Joaquín) apuntó en los comentarios, es considerar un desarrollo plano del cubo tal y como se ve en la figura:
Evidentemente si soy capaz de cubrir completamente dicho desarrollo, volviendo a montar el cubo, arrastraría dicho cubrimiento y obtendría un "envolvimiento" del cubo.

Ahora considérese un rectángulo con forma de serpentina (muy estrecho y muy largo) y cubro el cubo como se ve en las figuras:
Primeras fases para cubrir el desarrollo del cubo con una serpentina.
El desarrollo del cubo completamente cubierto por la serpentina
¿Cuál es el área de dicha serpentina? pues no es difícil de ver que si el ancho de la serpentina es W, entonces el área es AS=6+(Wx6), siendo Wx6 lo que sobresale por fuera del desarrollo del cubo (y 6 es el área del cubo), que es donde hemos doblado la serpentina. Entonces, cuanto más estrecha sea la serpentina, menor será el aŕea que necesitemos para envolver el cubo, ya que en  AS la longitud de la serpentina no juega ningún papel. Como no se puede escoger una serpentina de anchura 0, ya se obtiene el resultado que comentamos. Hermoso ¿no?

Dos genios: Akiyama con Erdös en Hakone.

Pues si os ha gustado este problema os pongo otros tres que también provienen de Jin Akiyama. Aviso que el primero es muy simple (está al alcance de cualquiera), el segundo es bastante complicado y el tercero mejor no lo intentes (pero lo pongo porque seguro que a alguien le interesará), pero esa será después de la publicidad, esto...: en la próxima entrada.


Con esta entrada participamos en la Edición 2.4 del Carnaval de Matemáticas, cuyo anfitrión es el blog seispalabras  de Clara Grima


11 comentarios :

  1. @Mago Moebius

    Cuando se la escuché a Jin por primera vez, se me quedaron los ojos como platos durante un par de días por lo menos.

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  2. Muy bonito y muy ocurrente. No esperaba nada parecido.

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  3. Esto se lo vendes al Sr. de El corte Inglés y te haces de oro.

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  4. Diossss...La mejor forma de describir mi cara cuando he entendido la solución (no os voy a engañar, me ha costado un poco visualizar la serpentina) es esta:

    :OOOOO

    Me ha encantado la solución. Plas Plas señor Akiyama :D

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  5. @clara

    Sí, esa es la magia de este problema: es ocurrente y sorprende.

    @Tito Eliatron

    Algún día te contaré una historia con una alumna mia y el Corte Inglés.

    @^DiAmOnD^

    Presentía que te iba a gustar, si tienes alguna sugerencia de cómo mejorar la explicación, será muy bienvenida.

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  6. Pero que maldad dejar al público así... :P

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  7. Hola,
    llevo un rato dándole vueltas a la formulilla del área del rectángulo-serpentina "AS=6+(6*W)=AREAcarasdelcubo+ AREArestante"

    Quizá me haya liado pero ¿ese AREArestante no sería 6*W-2*W^2?
    Me explico, el área restante de la parte superior de la figura AREAsup=3*W, ya que cada pico, por tener un ángulo de 45º tiene una altura igual a su base W, y por solaparse dos capas de papel podremos deplegarlo en un rectángulo cuya base es, para los tres cuadrados, 3 y altura W
    => AREAsup =3*W

    Ahora bien, el área restante de la parte inferior será equivalente a un rectángulo de base (3-2*W), dado que en los extremos de la serpentina no hay doblez, y altura W
    => AREAinf =(3-2*W)*W

    Y así, AREArestante = AREAsup+ AREAinf
    = 3*W+(3-2*W)*W = 6*W-2*W^2

    De cualquier manera, esto no afectaría en lo más mínimo a la conclusión, que sigue siendo preciosa!

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  8. Mas que un comentario quiero plantear una pregunta: Ahora que conocéis la respuesta para el cubo, ¿os atreveríais con otros polígonos? ¿y con la esfera? ¿y con un 'donut'? :P

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  9. @tobal

    Interesante, para cualquier poliedro convexo, la solución viene a ser la misma puesto que se ha probado que todos admiten un desarrollo plano. Para la esfera habría que redefinir el enunciado puesto que no es desarrollable y por tanto con una superficie plana si intentamos cubrirla, quedaría llena de huecos.

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  10. La solución no se adecua a la pregunta, pues habla de un cubo tridimensional y un papel rectangular. La cinta es un papel rectangular pero el cubo es tridimensional y con una cinta como se propone no sería nunca mínimo. Si se ajusta la solución si el cubo pasa a ser un proyección en el plano.

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